Движение по воде теория

МАТЕМАТИКА | Полный разбор задачи на движение по воде

А мы продолжаем постепенную подготовку к экзамену по ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ. И сегодня настало время разобраться с новой текстовой задачей – задачей на движение по воде.

Приступим к практике!

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

И сейчас мы с вами убедимся, что большинство из известных нам текстовых задач решается по единому алгоритму:

Мы берем какую-то определенную характеристику (чаще всего время) и сравниваем ее в разных ситуациях согласно условию.

В представленной задаче мы делаем то же самое. Но для начала давайте обозначим неизвестное, которое нам необходимо найти.

Пусть X – собственная скорость лодки, тогда (X+1) – скорость лодки по течению, а (X-1) – скорость лодки против течения.

Исходя из этого мы получаем ГЛАВНУЮ ФОРМУЛУ решения данной задачи:

❓В чем же заключается ее смысл?

Мы договорились, что берем такую величину как время и сравниваем ее в различных ситуациях.

А что из себя представляет время? Это пройденный путь (S) поделенный на скорость (V).

По условию задачи путь остается неизменным и равняется 255 км, а вот скорость уже изменяется.

В первом случае мы делим путь на скорость против течения (X-1) , а во втором случае делим его на скорость по течению (X+1).

❓Почему не наоборот?

Разница во времени равняется 2-ум часам, соответственно, чтобы получить положительное число, нам необходимо из большего вычесть меньшее. А время больше там, где меньше скорость (то есть против течения, так как оно замедляет движение).

Осталось решить полученное уравнение!

В первом случае домножаем 255 на (X+1) , а во втором на (X-1).

Точно так же можем домножить число 2 на Х² — 1.

Приводим подобные слагаемые и в конечном итоге получаем, что X = +- 16. Скорость – величина положительная, поэтому ОТВЕТ: 16 КМ/Ч ❗

Было полезно? Подписывайся, ставь лайк и следи за нашими обновлениями!

БОЛЬШЕ ПОЛЕЗНОЙ ИНФОРМАЦИИ УЖЕ НА КАНАЛЕ:

Хочешь набрать достаточно баллов для поступления в вуз мечты? Тогда присоединяйся к команде EXAMhack!

Более 5 лет опыта подготовки к ЕГЭ, 15.000 выпускников, официальная образовательная лицензия и лучшие преподаватели страны по целому ряду предметов!

Источник

Решение задач с помощью уравнений. Движение по воде.

Решение задач с помощью уравнений. Движение по воде.

V соб. – собственная скорость (скорость в стоячей воде)

V теч.р. – скорость течения реки

Задача 1. Лодка плыла 1,4 ч по течению реки и 1,7 ч против течения . Путь, который проплыла лодка по течению, оказался на 2,2 км меньше пути, который она проплыла против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 28 км/ч.

Задача 2. Расстояние между двумя пунктами катер прошёл по течению реки за 7 часов , а против течения за 8 часов . Найдите расстояние между этими пунктами, если скорость течение реки 3,5 км/ч

5 2 ,5 км/ч – V соб.

7(52,5 + 3,5) = 7 · 56 = 392 км – расстояние

РЕШИ ЗАДАЧИ ПО ОБРАЗЦУ.

Туристы на байдарке плыли 2,4 ч по течению реки и 1,8 ч против течения. Путь, который байдарка проплыла по течению, был на 14,1 км больше, чем путь, пройденный против течения. Найдите скорость байдарки в стоячей воде, если скорость течения 2,5 км/ч.

Расстояние между двумя пунктами катер прошел по течению реки за 5 часов, а против течения — за 6 часов. Найдите расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки 3 км/ч.

Катер проходит по течению реки за 5 ч такое же расстояние, как за 6 ч 15 мин против течения. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч.

Моторная лодка прошла 7 ч по течению реки и 6 ч против течения. Определите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч и за все путешествие лодка прошла 132 км.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-1424309

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В России объявлены нерабочие дни с 30 октября по 7 ноября

Время чтения: 2 минуты

Российским школьникам проведут бесплатные профориентационные тесты

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор оставил за регионами решение о дополнительных школьных каникулах

Время чтения: 1 минута

Треть школ и пятая часть детских садов в России являются инклюзивными

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

В России создадут национальный центр физики и математики

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Задачи на движение по воде

Комитет общего и профессионального образования Ленинградской области

Государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Ленинградской области

«Задачи на движение по реке»

(курсовая работа в рамках курсов повышения квалификации)

Выполнила учитель математики

МКОУ «Форносовская ООШ»

Назарова Екатерина Николаевна

Текстовые задачи (разных видов) входят в ОГЭ и ЕГЭ, поэтому, данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике. Решение текстовых задач вызывает затруднения у учащихся, поэтому следует больше уделять внимание их решению . Следует сформировать у учащихся представление о способах решения задач, так как решение задач на экзамене способствует набору большего количества баллов. Для текстовых задач не существует единого алгоритма решения – в этом вся их сложность. Тем не менее существуют типовые задачи, которые вполне решаются стандартно. В данной работе рассмотрим задачи на движение по воде.

Объект исследования: подготовка учащихся к экзамену по математики в формате ОГЭ.

Предмет исследования: текстовые задачи на движение по воде.

Цель исследования: — выбрать текстовые задачи данного типа;

— разобрать цепочку задач данного типа;

— проанализировать задачи данного типа;

— просмотреть задачи в учебниках с 5 по 9 классы.

Задачи на движение по реке

Остановимся на вопросе о классификации задач. Задачи на движение по реке можно классифицировать

По направлению течения

— Задачи на движение в стоячей воде

— Задачи на движение по течению

— Задачи против течения

2. По направлению движения объектов

— Задачи на движение в противоположном направлении – на удаление

— Задачи на движение в противоположном направлении – на встречу

— Задачи на движение в одном направлении – с отставанием

— Задачи на движение в одном направлении – вдогонку.

3. Разные единицы измерения.

Что общего и в чем различие этих задач.

-есть объекты движения;

-есть величины: расстояние, время и скорость (по течению, против течения

Собственная скорость и скорость течения) .

— направление движения объектов;

— пункт отправления объектов;

— значение величин и единицы их измерения.

При решении задач на движение по воде необходимо помнить следующее:

Скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорость в стоячей воде) и скорости течения реки.

Скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.

Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело движется со скоростью течения реки (собственная скорость плота равна нулю).

Данный тип задач начинает изучаться в начальной школе.

Все текстовые математические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из главных понятий начального курса математики – понятие об арифметических действиях. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. Таким образом, для решения составной задачи, надо установить систему связей между данными и искомым, а затем выполнить арифметические действия.

Для решения текстовых задач в школе применяют два основных метода: арифметический и алгебраический. Рассмотрим каждый из этих методов.

Арифметический метод решения задач преимущественно используется в 5-6 классах. Задачи на движение по реке, решаемые арифметическим методом, служат для отработки вычислительных навыков и навыка решения задач на движение, готовят к пониманию текстов алгебраических задач, служат пропедевтикой для изучения алгебры.

Простые задачи позволяют учащимся усвоить понятия «собственная скорость»; «скорость в стоячей воде»; «скорость течения»; «скорость плота», «скорость по течению»; «скорость против течения», выработать навыки нахождения этих видов скоростей.

Системы простых задач должна выстаиваться в контексте изучения арифметических действий:

при повторении сложения и вычитания натуральных чисел;

при составлении буквенных выражений;

при изучении формул;

при изучении сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями и смешанных чисел;

при изучении сложения и вычитания десятичных дробей;

при изучении понятия среднего арифметического;

при изучении сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями и смешанных чисел;

Примеры простых задач на движение по реке:

Собственная скорость моторной лодки 17 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость моторной лодки по течению реки.

Ответ: скорость моторной лодки по течению 19км/ч.

Скорость теплохода при движении по озеру 32 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите скорость теплохода против течения реки.

Ответ: скорость теплохода против течения 29км/ч.

Скорость лодки по течению реки 8 км/ч. Собственная скорость лодки 5 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Ответ: скорость течения реки 3 км/ч.

Скорость катера в стоячей воде 12 км/ч, а по течению реки -14 км/ч. Найдите скорость течения плота, плывущего по этой же реке.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.

Скорость лодки вверх по реке 4,2 км/ч. Собственная скорость лодки 5,8 км/ч. Найдите скорость плота, спускающегося по этой реке.

Ответ: скорость течения реки 1,5 км/ч.

Скорость моторной лодки вниз по реке- 25,5 км/ч. Скорость течения реки 3,7 км/ч. Найдите собственную скорость моторной лодки.

Ответ: собственная скорость моторной лодки 21,8 км/ч.

По течению реки катер за 1 ч проходит 32 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 28 км/ч.

Скорость катера в стоячей воде 12 км/ч. Скорость течения реки v км/ч. Составьте буквенное выражение для нахождения скорости катера по течению реки и найдите её значение при v =1;3.

Скорость моторной лодки по течению реки m км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Составьте буквенное выражение для нахождения собственной скорости моторной лодки и найдите её значение при m =17; 15,7.

Задания на составление буквенных выражений позволяют провести исследования о возможных значениях собственной скорости и скорости течения.

Примерные сюжетные линии повторяются при изучении дробей.

Сложные арифметические задачи на движение по реке, включая в себя простые задачи, отражающие особенности этого типа задач, в остальном сходны с задачами на движение по земле. Особо можно выделить только задачи, в которых надо найти ни одну, а несколько скоростей: скорость не только по течению, но и против, среднюю скорость движения и т.п.

Собственная скорость катера 12 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения реки.

Ответ: скорость катера по течению реки 15км/ч, скорость катера против течения 9 км/ч.

Собственная скорость катера 21,7 км/ч, а его скорость по течению реки — 24,2 км/ч. Найдите скорость катера против течения реки.

24,2-21,7=2,5(км/ч)-скорость течения реки;

Ответ: скорость катера против течения 19,2 км/ч.

Собственная скорость теплохода 41,2 км/ч, а его скорость против течения реки — 37,6 км/ч. Найдите скорость теплохода по течению реки.

41,2 — 37,6=3,6(км/ч)-скорость течения реки;

Ответ: скорость теплохода по течению реки 44,8 км/ч.

Скорость теплохода в стоячей воде 47 км/ч, а его скорость по течению реки — 51 км/ч. Найдите скорость теплохода против течения реки.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.

Собственная скорость лодки 4,5 км/ч, а ее скорость против течения — 3,8 км/ч. Найдите скорость лодки по течению реки.

(4,5-3,8) : 2=0,35(км/ч) скорость течения реки;

Ответ: скорость лодки по течению реки 4,85 км/ч.

Скорость теплохода по течению реки 53,1 км/ч. Скорость течения реки 3,6 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода и его скорость против течения реки.

53,1- 3,6=49,5(км/ч)- собственная скорость катера.

Ответ: скорость теплохода против течения 45,9 км/ч.

Скорость катера по течению реки 19 км/ч, а против течения -14 км/ч. Найдите скорость течения реки. Какова скорость плота, плывущего по этой реке?

(19-14) : 2= (19-14) :2=4 :2=2,2: 2=1,1 (км/ч)

Ответ: скорость плота 1,1 км/ч.

Скорость теплохода по течению реки 24,4 км/ч, а против течения — 18,8 км/ч. Какова средняя скорость движения теплохода по реке? (Чему она равна?)

(24,4 + 18,8) : 2=21,6 ( км/ч)

Ответ: средняя скорость движения теплохода по реке 21,6 км/ч, это его собственная скорость.

Примеры на движение по реке, решаемых арифметическим способом с использованием общего правила решения задач на движение: путь=скорость*время.

Собственная скорость теплохода 48,2 км/ч, а его скорость против течения реки — 45,5 км/ч. Какое расстояние пройдет теплоход по течению реки за 5 ч?

48,2-45,5=2,7 (км/ч) скорость течения реки;

48,2+2,7=50,9(км/ч) скорость теплохода по течению реки;

Ответ: теплоход по течению реки пройдет 254,5 км.

Моторная лодка, собственная скорость которой 12,6 км/ч, прошла за 3 ч по течению реки 46,2 км. Найдите скорость течения реки.

46,2 : 3=15,4 (км/ч) –скорость моторной лодки по течению реки.

Ответ: 2,8 км/ч–скорость течения реки.

Скорость течения реки 4,6 км/ч. Теплоход за 4 ч прошел против течения 154,4 км. Какова собственная скорость теплохода?

154,4 :4 =38,6(км/ч)- скорость теплохода против течения реки;

Ответ: собственная скорость теплохода 43,2 км/ч.

Туристы проплыли на лодке 24 км вниз по реке до острова и, побыв там, вернулись в лагерь. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки 8 км/ч. Сколько времени туристы были в пути?

8+2=10(км/ч)-скорость лодки вниз по реке;

8-2=6(км/ч)-скорость лодки вверх по реке;

24: 10=2,4 (ч)- время движения вниз по реке;

24: 6= 4 (ч)- время движения вверх по реке;

Ответ: время туристов в пути 6,4 ч.

Лодка проплывает по течению реки 36,6 км за 6 ч. Скорость лодки против течения реки 2,5 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Собственная скорость катера 11,6 км/ч. Скорость течения реки 4,9 км/ч. Сначала катер плыл 2,4 ч против течения реки, а потом 1,5 ч — по озеру. Какое расстояние прошел катер за это время?

Собственная скорость моторной лодки 17,2 км/ч. Скорость течения реки 2,7 км/ч. Сначала лодка плыла 1,5 ч против течения реки, а потом 3,2 ч — по озеру. Какое расстояние прошла моторная лодка за это время?

По течению реки теплоход прошел 84 км за 4 ч, а 45 км против течения — за 3 ч. Найдите скорость течения реки.

По течению реки лодка проходит 72 км за 6 ч, а 56 км против течения — за 8 ч. Найдите собственную скорость лодки.

По течению реки теплоход прошел 65 км за 5 ч, а 24 км против течения — за 3 ч. Найдите собственную скорость теплохода.

Моторная лодка прошла по реке против течения 42 км за 3 ч. Сколько времени ей понадобится на обратный путь, если ее собственная скорость равна 17,5 км/ч?

Лодка прошла по течению реки 72 км за 6 ч. Сколько времени понадобится на обратный путь, если скорость течения реки равна 6 2 км/ч?

На катере инспектор Рыбнадзора плыл 5 ч по озеру, а потом еще 2 ч по реке, которая впадает в это озеро. Собственная скорость катера 18,7 км/ч. Скорость течения реки 3,2 км/ч. Какое расстояние преодолел инспектор?

На моторной лодке турист плыл 3 ч по озеру, а потом еще 4 ч по реке, которая впадает в это озеро. Собственная скорость моторной лодки 8,5 км/ч. Скорость течения реки 2,4 км/ч. Какое расстояние преодолел турист?

На остров вверх по реке катер доставил туристов за 4 ч. Собственная скорость катера 24 км/ч, а скорость течения реки — 8 км/ч. Сколько времени затратили туристы на обратный путь, если они возвращались по реке на плоту?

Туристы проплыли на плоту 48 км за 16 ч. Пробыв на турбазе 5 часов, обратно они вернулись на моторной лодке, собственная скорость которой — 15 км/ч. Сколько времени затратили туристы на поездку ?

Два теплохода движутся навстречу друг другу. Сейчас между ними 185,5 км. Первый теплоход имеет собственную скорость 24,5 км/ч и движется по течению реки. Второй теплоход имеет собственную скорость 28,5 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если скорость течения 2,5 км/ч.

В целях обеспечения пропедевтики решения задач алгебраическим методом можно использовать табличную форму анализа текста задачи:

v _соб1 = 24,5 км/ч; v соб2 = 28,5 км/ч; v теч =2,5 км/ч.

Ответ: теплоходы встретятся через 3,5 ч.

В шестом классе можно начать решать простейшие алгебраические задачи, вариации которых могут подвести к пониманию необходимости изучения действий с алгебраическими дробями.

№ 1593. Теплоход проходит за 15 часов против течения столько же, сколько за 13 часов по течению. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода 70 км/ч?

v соб = 70 км/ч; v теч =х км/ч.

v по= v соб + v теч

v против= v соб — v теч

Опыт показывает, что решая табличным методом, учащиеся видят как различные задачи, переводя на математический язык, становятся похожими. При правильном и последовательном выполнении всех этапов решение текстовой задачи становится чисто механической работой, для выполнения которой не нужно по сто раз перечитывать текст задачи, надеясь получить неожиданное творческое озарение. И ученикам остается лишь отработать технику решения уравнений. После этого они начинают спокойно «брать» и решать задачи любого типа.

Однако система задач на движение по реке, предлагаемая в учебниках авторского коллектива Н.Я. Виленкин и др., не позволяет в должной мере сформировать у учащихся навык решения такого типа задач: простые задачи практически отсутствуют; сложные задачи сконцентрированы во второй части учебника 5 класса (с №1196-1833, 18 шт.).

По учебно-методическому комплекту Ш.А. Алимова и др. решение задач на движение по воде начинается в 7 классе в теме: «Алгебраические выражения».

№ 67. Туристы проплыли на плоту 6 ч со скоростью V км/ч. Затем они прошли по берегу 15 км. Написать формулу S пути, который преодолели туристы. Выразить из этой формулы V через S .

В учебниках 7-9 класса встречаются задачи, которые выходят на ОГЭ.

1.Задача на встречное движение двух объектов (катер и плот). Есть необходимость повторения скорости плота, движения по течению и против течения.

Из пункта А в пункт В , расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В , если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

1 способ решения.

Пусть скорость течения реки (и плота) км/ч. Тогда скорость катера против течения равна км/ч, а по течению км/ч. Следовательно, скорость катера против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению — в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи проплыл км, то катер — в 3 раза больше, т. е. км. После встречи катер пройдет км, а плот — в 5 раз меньше, т. е. км. Всего плот пройдет .

Отношение пройденного плотом пути ко всему пути равно .

2 способ решения.

Пусть скорость течения реки (и плота) км/ч. Тогда скорость катера против течения равна км/ч, а по течению км/ч. Скорость сближения катера и плота равна км/ч. Встреча произошла через ч. За это время плот проплыл расстояние, равное , а катер — .

Обратный путь катер пройдет за ч. Плот за это время проплывет расстояние, равное , а всего он проплывет .

Ответ: плот пройдет всего пути.

2.Задача на движение двух объектов в одном направлении вдогонку. Есть необходимость повторения скорости плота, движения по течению и против течения.

Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Обозначим искомую скорость (в км/ч) за . Плот прошёл 22 км, значит, он плыл 11 часов, а яхта 9 часов. Таким образом, имеем:

,

откуда находим .

Задача на движение одного объекта. Есть необходимость повторить движение по течению и против течения, расстояние, пройденное по течению и против течения одинаковое, общее время движения.

Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Обозначим км/ч искомую скорость. По течению реки лодка двигалась ч.
Против течения лодка шла ч. Получаем уравнение

.

Корни квадратного уравнения: 15 и −0,6. Следовательно, скорость лодки равна 15 км/ч.

4. Задача на движение одного объекта. Есть необходимость обратить внимание на составление формулы нахождения времени и что расстояние в км не дано. Пристани и расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Пусть км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость движения по течению равна км/ч, а скорость движения против течения равна км/ч. Обозначим расстояние между пристанями. Время, затраченное на весь путь, равно

.

По условию средняя скорость равна 8 км/ч, а весь путь равен . Следовательно,

.

Решим это уравнение:

Получаем: или . Корень −1 не является решением задачи. Значит, скорость лодки равна 9 км/ч.

5. Задача на движение одного объекта. Необходимо обратить внимание что в данных есть общее время и время стоянки, известно время движения по течению и против течения.

Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отдалился, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Пусть искомое расстояние равно км. Скорость лодки при движении против течения равна 4 км/ч, при движении по течению равна 8 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно часа. Из условия задачи следует, что это время равно 3 часа. Составим уравнение: . Решив уравнение, получим = 8 .

6. Задача на движение одного объекта. Необходимо обратить внимание что в данных есть общее время и время стоянки.

Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 2 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Пусть S км — расстояние, на которое от лагеря отплыли туристы. Зная, что скорость течения реки — 3 км/ч, а скорость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за которое они проплыли туда и обратно, составляет Учитывая, что они были на стоянке 2 часа и вернулись через 6 часов после отплытия можно составить уравнение:

7. Задача на движение одного объекта. Необходимо обратить внимание что в данных есть общее время и время стоянки.

Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Пусть S км — расстояние, на которое отплыл рыболов. Зная, что скорость течения реки — 2 км/ч, а скорость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за которое он проплыл туда и обратно, составляет Учитывая, что он был на стоянке 2 часа и вернулся через 5 часов после отплытия можно составить уравнение:

8. Задача на движение одного объекта. Необходимо обратить внимание что в данных есть общее время и время стоянки.

Катер прошёл от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.

Пусть скорость течения реки равна км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна км/ч, а против течения — км/ч. Время движения катера по течению реки равно , а против течения — по смыслу задачи Весь путь занял . Составим и решим уравнение:

Тем самым, скорость течения реки равна 4 км/ч.

9. Задача на движение одного объекта. Необходимо обратить внимание что в данных есть общее время и время стоянки.

Моторная лодка прошла от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 16 км, сделала стоянку на 40 мин и вернулась обратно через после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Пусть скорость течения реки равна км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна , а против течения . Время движения лодки от одной пристани до другой по течению реки равно , а против течения Весь путь занял Составим уравнение:

Корень −4 не подходит нам по условию задачи. Скорость течения реки равна 4 км/ч.

10. Задача на движение одного объекта. Необходимо обратить внимание что в данных есть общее время и время стоянки.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.

Пусть км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде, тогда км/ч — скорость теплохода по течению, км/ч — скорость теплохода против течения. По течению теплоход движется часов, а против течения часов, весь путь занял часов, составим уравнение:

Корень не подходит по условию задачи, следовательно, скорость теплохода равна 26 км/ч.

11. Задача на движение одного объекта. Необходимо обратить внимание что дано разное расстояние по течению и против течения.

Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть км/ч — собственная скорость баржи, тогда км/ч — скорость баржи против течения, а — скорость баржи по течению. По течения баржа двигалась часов, а против течения часов. Баржа затратила на весь путь 5 часов, составим уравнение:

Корень −1 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость баржи равна 15 км/ч.

12. Задача на движение двух объектов в одном направлении вдогонку.

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 70 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

Пусть км/ч — скорость первого теплохода, тогда км/ч — скорость второго теплохода. Расстояние между пристанями 70 км, второй теплоход отправился в путь через час после выхода первого, причём в конечный пункт оба теплохода прибыли одновременно, составим уравнение:

Корень −28 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость первого теплохода равна 20 км/ч.

13. Задача на движение двух объектов в одном направлении вдогонку. Есть необходимость повторения скорости плота.

Расстояние между пристанями А и В равно 99 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 22 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Плот прошёл 22 км, значит, он плыл 11 часов, из которых лодка находилась в пути 10 часов. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна v км/ч, тогда

14. Задача на движение двух объектов в одном направлении вдогонку.

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 153 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью, на 16 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

Пусть км/ч — скорость первого теплохода, тогда км/ч — скорость второго теплохода. Расстояние между пристанями 153 км, второй теплоход отправился в путь через 4 часа после выхода первого, причём в конечный пункт оба теплохода прибыли одновременно, составим уравнение:

Корень −34 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость первого теплохода равна 18 км/ч.

15. Задача на движение одного объекта. Необходимо обратить внимание на условие, которое поможет составить уравнение.

Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, тогда км/ч — скорость лодки против течения реки, а км/ч — скорость лодки по течению. Лодка затратила на путь по течению реки на 2 часа меньше, чем по течению, составим уравнение:

Корень −18 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость моторной лодки в стоячей воде равна 18 км/ч.

16. Задача на составление отношений скоростей.

Теплоход идет по течению реки в 5 раз медленнее, чем скутер против течения, а по течению скутер идет в 9 раз быстрее, чем теплоход против течения. Во сколько раз собственная скорость скутера больше собственной скорости теплохода? (Собственная скорость — скорость в неподвижной воде)

Решение.

Пусть х км/ч -собственная скорость теплохода, а км/ч-скорость течения. Тогда скорость теплохода по течению(х+а) км/ч. Скорость скутера против течения (х+а)·5 км/ч, тогда его собственная скорость (х+а)·5+а=5х+5а+а=5х+6а(к скорости против течения прибавили скорость течения).

Скорость теплохода против течения — (х-а) км/ч ,тогда скорость скутера по

течению — (х-а)·9=9х-9а км/ч, собственная скорость скутера в этом случаи будет:

9х-9а-а =9х-10а км/ч (от скорости по течению вычли скорость течения)

Приравниваем полученные выражения:

5х+6а=9х-10а, 4х=16а ,х=4а -это собственная скорость теплохода.

5·4а+6а=26а -это собственная скорость скутера.

Определяем отношение скоростей: 26а:4а=6,5

17. Задача на нахождение средней скорости движения. Необходимо обратить внимание как находиться средняя скорость.

Из пункта А в пункт В катер движется со скоростью 20 км/ч, а из В в А — со скоростью 30 км/ч. Какова средняя скорость катера?

Время движения катера из А в В:

Время движения катера из В в А:

Время катера в пути: + =

Средняя скорость катера на пути из А в В и обратно 2 S : = = 24

18. Решение задач с помощью систем уравнений.

Катер прошел по реке расстояние между двумя пристанями, равное 90 км, за 3 часа 45 минут. по течению реки и за 5 часов против течения. найти собственную скорость катера и скорость течения реки.

Решение.

Пусть х м/ч собственная скорость катера, а у км/ч скорость течения, тогда (х+у) км/ч скорость катера по течению, а (х-у) км/ч скорость катера против течения. Зная, что времяпо течению 3 =3 = часа, а против течения 5 часов, а расстояние 90 км, составим и решим систему

Источник