Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой

Прототип задания 11 (№ 27956)

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q = 100 — 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r(p) = q \cdot p$. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) оставит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

$$r = q \cdot p = (100 — 10p)\cdot p,$$

$$100p — 10p^2 \ge 240, $$

Значит, наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб., равна 6 тыс. руб.

Прототип задания 11 (№ 27957)

Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 1,6 + 8t — 5t^2$, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

Найдем моменты времени, в которые мяч будет находится на высоте 3 метра:

Первый раз мяч достигнет высоты 3 метра над землей через 0,2 секунды, второй раз (когда будет падать) — через 1,4 секунды (отсчитывая от момента броска).

Поэтому мяч будет находится на высоте не менее 3 метров в течение 1,4 — 0,2 = 1,2 сек.

Прототип задания 11 (№ 27958)

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P = m(\frac-g)$, m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведeрка в м/с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Для того, чтобы вода не выливалась, нужно, чтобы в верхней точке P = 0. Поэтому

Наименьшая скорость равна 2 м/с.

Прототип задания 11 (№ 27959)

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = H_0 — \sqrt<2gH_0>kt+ \frac<2>k^2t^2$, где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0 = 20$м — начальная высота столба воды, k = 1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c 2 ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

В баке останется четверть первоначального объема воды, то есть $1/4 \cdot H_0 = 1/4 \cdot 20 = 5$м.

$$5 = 20 — \sqrt<2 \cdot 10 \cdot 20>\cdot (1/50) \cdot t + \frac<10><2>\cdot (1/50)^2t^2,$$

Источник