Задача с тремя бочками с водой

Как отмерить 4 литра воды с помощью двух вёдер по 5 и 3 литр? Задача для собеседования.

Эту задачу я узнал от одного коллеги, который пробовался на работу в Google. Он работал у нас Айтишником.

Однажды мы разговорились на тему собеседования, и наш диалог зашел про вопросы на тестировании для кандидатов.

Я считаю, что на собесе очень нервная остановка и на тестах кандидат не может себя проявить в полную меру.

На что мне мой коллега ответил, что это наоборот показывает стрессоустойчивость и способность сконцентрировать внимание на одной задачи, а если еще и оценить время, на которое он потратит на решение, то можно сделать много выводов.

Ну, не знаю он айтишник, может ему виднее.

Для примера он мне дал одну задачу, которую ему задавали при наборе в Google.

Эта задача начального уровня и кандидат на должность программиста должен с ней легко справляться за минуту.

После того, как он мне её показал, я тоже решил использовать у себя на собеседованиях, и оценивать за какое время её осилит мой будущий работник.

Задача очень легкая, и если он её не решает, дальше речи о трудоустройстве быть не может.

Условия задачи простые.

У вас есть два ведра по 5 и 3 литра, как с помощью этих этих емкостей можно отмерить ровно 4 литра воды? При этом количества воды и попыток не ограниченно.

Сейчас уже у моей команды есть много разных способов решения этой задачи, и они постоянно делятся ими со мной, вспоминая, как я их тестировал при приеме на работу.

Но больше всего их удивляло, что они шли на должность менеджеров по продажу, а их просили переливать воду. :))).

Используйте эту задачу при тестировании своих кандидатов, очень здорово помогает набирать правильных людей.

Ах, да, чуть не забыл сказать ответ на эту задачу.

Значит, что делаем, для того, чтобы у нас получилось 4 литра вода.

а) Наливаем в трехлитровое ведро до краев воды и переливаем в ведро 5 литров.

б) Далее еще раз набираем трехлитровое до края и дозаполняем два литра в пятилитровое до краев. Итого у нас в трехлитровом остается 1 литр воды.

в) Далее выливаем всю воду из пятилитрового ведра

г) Заливаем 1 литр из ведра в 3 литра в 5 литров, и теперь в 5 литровки у нас ровно 1 литр

д) Наливаем полное трехлитровое ведро и переливаем в 5-литровое.

Итого у на ровно 4 литра в 5- литровом ведре.

5 литровое ведро выливаем в трех литровое.

Итого остается 2 литра в пятилитровом.

Далее опустошаем трехлитровое и наливаем туда два литра из пятилитрового.

Наполняем до краев пятилитровое и переливаем недостающий литр в трехлитровое. Итого в пятилитровом ведре ровно 4 литра воды.

Источник

Задача с тремя бочками с водой

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.

а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?

б) Пусть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?

в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?

а) Перельём из последней бочки в первую 31 литр воды, а из третьей во вторую — 4 литра. Тогда в первой и последней будет по 60 литров, во второй и третьей — по 36 литров воды. Перельём теперь из последней в третью и из первой во вторую по 12 литров воды. Получим в каждой бочке по 48 литров воды, что и требовалось.

б) Пусть есть семь бочек, в первых шести из которых по одному литру воды, а в последней — 8 литров воды. В каждой бочке должно оказаться в итоге по 2 литра воды. Следовательно, в каждую из первых шести бочек надо как минимум один раз наливать воду. Значит, переливаний должно быть не меньше шести.

в) Докажем, что меньше чем 25 переливаний может не хватить. Пусть есть 26 бочек, в первых 25 из которых по одному литру воды, а в последней — 27 литров воды. Тогда, как в пункте «б», надо выливать воду в каждую из первых 25 бочек, следовательно, переливаний должно быть не менее 25.

Докажем, что за 25 переливаний всегда можно уравнять количество воды во всех бочках. Пусть общий объём воды в бочках равняется 26x литров воды. Так как этот объём при переливаниях не меняется, то в каждой бочке в итоге должно оказаться ровно x литров воды.

Если во всех бочках ровно x литров воды, то переливаний не требуется. Иначе найдётся такая бочка, в которой больше чем x литров воды, и такая, в которой меньше чем x литров воды. Будем переливать воду из первой бочки во вторую, пока в одной из них не станет ровно x литров воды. После этого переливания количество бочек, в которых ровно x литров воды, увеличится. Тогда не более чем через 25 таких переливаний в 25 бочках будет ровно x литров воды. Значит, и в оставшейся бочке тоже будет равно x литров воды.

Источник

3 головоломки, которые задают на собеседованиях. Справитесь ли вы?

1. У вас есть два ведра ёмкостью 3 литра и 5 литров и неограниченный запас воды. Как можно отмерить точно 4 литра воды?

2. У вас есть 8 бильярдных шаров. Один из них тяжелее, чем остальные. Как можно за два взвешивания на весах без гирь найти этот шар?

3. В коридоре 3 выключателя. Один из них включает свет в комнате, находящейся в дальнем конце коридора. Дверь в эту комнату закрыта, и вы не видите, включён в ней свет или нет. Вам нужно понять, какой из трёх выключателей контролирует освещение в той комнате. Каким образом вы можете это надежно определить, всего лишь один раз зайдя в комнату?

Ответ 1: Налейте 5 литров воды в большее ведро. Потом переливайте воду в 3-литровое ведро, пока оно не заполнится. Теперь в 5-литровом ведре у вас осталось ровно 2 литра воды. Вылейте воду из 3-литрового ведра, и налейте в него те 2 литра из 5-литрового ведра. Потом наполните до краёв 5-литровое ведро. Перелейте из него воду в 3-литровое, пока оно не заполнится — там не хватало как раз одного литра. Это значит, что в 5-литровом ведре осталось 4 литра.

Ответ: Положите по три любых шара на каждую чашку весов. Если чаши уравновесились, значит среди них нет тяжелого шара, тогда тяжелый шар среди двух оставшихся. Если чаши не уравновесились, то возьмите 3 шара из перевесившей чаши и взвесьте любые 2 из них. Если они уравновесились, значит тяжелее оставшийся шар.

Ответ 3: Включите выключатели 1 и 2. Подождите минут 10. Потом выключите номер 1, включите номер 2 и бегите в комнату. Если свет там горит, значит, его включает выключатель номер 2. Если свет не горит, но лампочка теплая, его контролирует выключатель номер 1. Если свет не горит и лампочка холодная, его контролирует выключатель 3.

Не пропустите:
Головоломки из СССР
Что не так с этой фотографией? Головоломка, которая не всем по зубам
Математическая головоломка, над которой весь интернет ломает голову прямо сейчас!
Детские головоломки, которые могут решить не все взрослые

Источник

Задачи на переливания

Разделы: Математика

Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая, сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.

Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению.

Введение

В этой работе приведены материалы одного занятия математического кружка, проводимого для учащихся 5-6 классов в Центре образования №1454 г. Москвы.

Цель проведения кружка: создание условий для развития творческой, познавательной активности учащихся при изучении математики, развитие и сохранение устойчивого и долговременного интереса к предмету.

Задачи:

• развивать познавательные интересы ребенка (восприятие, мышление, внимание, воображение, память и др.);
• формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету и познавательную активность;
• формировать навыки самостоятельной работы и потребности в исследовательской деятельности;
• развивать коммуникативные качества учащихся.

Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то новой, интересной, нестандартной задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от друга или от родителей. Задачи на логику развивают сообразительность, интеллект и упорство в достижении цели. Очень часто одна решенная логическая задача пробуждает у ребенка устойчивый и долговременный интерес к изучению математики, желание искать и решать новые логические, нестандартные задачи и задачи повышенной трудности. А это, во многом, и есть главная цель учителя.
Логические задачи – это хороший способ развития умственных способностей.

Задачи на переливания

1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки. Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался ровно один литр воды?
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, есть только 5-литровые фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
3. Как, имея 5-литровое ведро и 9-литровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с помощью пустых 3-литровой банки и
5-литрового бидона. (Пользоваться другими емкостями и выливать воду на землю нельзя).
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь бидонами емкостью 17 л и 5 л.
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на
8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?
7. Имеются два полных десятилитровых бидона молока и пустые кастрюли емкостью четыре литра и пять литров. Отлейте по 2 л молока в каждую кастрюлю.

Решения задач

1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки. Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался ровно один литр воды?

Отразим результаты каждого шага переливания в таблице.

Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую банку

Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую банку

Набрать 2 л и наполнить 5-литровую банку, вылив туда 1 л

1 Банка 5 л

2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, есть только 5-литровые фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

4 Фляга 5 л

Набираем 5 л и 3 л выливаем
в банку

2
Переливаем в 4-литровую флягу

Набираем 5 л и 3 л выливаем
в банку

2
Переливаем в 4-литровую флягу

0 Банка 3 л

3
Выливаем

3
Выливаем

3. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?

Заполняем 9-литровую банку и выливаем из нее 5 л в 5-литровое ведро. в 9-литровом ведре остается 4 литра. выливаем воду из 5-литрового в реку и наливаем в него 4 литра из 9-литрового. В 9-литровое набираем воду из реки, выливаем оттуда 1 литр в 5-литровое, заполняя его доверху. Теперь в 9-литровом ведре осталось 8 л. Выливаем воду из 5-литрового опять в реку и из
9-литрового переливаем воду в 5-литровое. В 9-литровом теперь 3 литра. Если вода в ведре не нужна, то ее можно вылить.

4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с помощью пустых трехлитровой банки и пятилитрового бидона. (Пользоваться другими емкостями и выливать воду не землю нельзя).

Источник

Логические задачи «Задачи на переливания»

Задачи на переливание.

Термин «литр» введен в честь француза Клода-Эмиля-Жана-Батиста Литра. Он жил в XVIII веке и занимался производством винных бутылок. Считается, что Литр – первый из тех. Кто стал производить лабораторную посуду. В частности, он придумал градуированные стеклянные цилиндры. Известно, что его родители так же занимались производством винных бутылок. В 1763 году на 47-м году жизни Литр предложил измерять объемы жидкости с помощью единицы, которую в последствии назвали литром.

1. Как пользуясь банками в 3л и 5л, набрать воды ровно 1л?

2. Как отметить 4л воды с помощью сосудов в 3л и 5 л?

3. Как, имя лишь два сосуда емкостью 5л и 7 л, отметить6л воды?

4. Каким образом из реки можно принести ровно 6л воды, если имеется только два ведра: одно – емкостью 4л. другое – 9л?

5. Бидон емкостью 10л заполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5л в семилитровый бидон, используя при этом еще один бидон, вмещающий 3л.

6. Имея два бидона емкостью 4л и 5л, можно ли налить в ведро 3л воды. Если емкость ведра не менее 3л?

7. (задача Пуассона) Известному французскому математику Симону Пуассону(1981-1840) в юности предложили задачу. Заинтересовавшись ею, Пуассон затем увлекся математикой и посвятил этой науке всю свою жизнь. Вот эта задача. Некто имеет 12 пинт вина и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. Зато есть два других сосуда: в 8 пинт и 5 пинт. Спрашивается: каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт?

Все задачи на переливания принципиально делятся на 2 типа.

Первый – когда у нас есть много жидкости (озеро, бесконечно большая бочка, водопровод), и мы можем наполнять доверху сосуды сколь угодно большое количество раз, то есть количество жидкости не ограничено. При этом мы можем безбоязненно выливать воду из сосудов.

Второй – это когда жидкости у нас ровно столько, сколько изначально налито в сосудах (в этом случае у нас обычно не простая жидкость, а какая-либо особенная: молоко, сок и т. д.). Чаще всего эту жидкость ещё и нельзя проливать – авторы стараются это отдельно оговаривать. Если же мы можем выливать жидкость, то в условиях задачи обычно присутствует какой-либо персонаж, который может пить данный тип жидкости: Кот Баюн, сосед Гриша и т. п.

Также стоит понять принцип задач на переливания: например, если у нас есть сосуд объемом 8 литров и 5 литров, и нам надо отмерить 2 литра воды, мы не имеем права на следующее решение: «Наполним восьмилитровый сосуд на четверть – таким образом, мы и получим 2 литра воды». Или: «Давайте опустошим наш 5 литровый сосуд на 60%, тогда в нем останется ровно 2 литра воды». Нет, так делать нельзя. (Если у ребёнка в этом месте возникают вопросы, то вы можете придумать, например, такое оригинальное объяснение: «А вдруг наш сосуд – это какая-нибудь замысловатая ваза (или древняя амфора), конечно, без шкалы делений!» Или даже просто банка не вполне симметрична, а на глаз определить середину – проблематично…) Мы можем либо полностью наполнять сосуды, либо полностью опустошать их, либо переливать из одного сосуда в другой. При этом мы можем пользоваться тем, что при этих операциях часть воды может оставаться в сосуде, из которого дополняется другой сосуд.

Для примера решим три задачи.

Задача 1-го типа

Для приготовления компота маме нужно налить в 5-литровую кастрюли 4 литра воды. Как маме справиться с этой задачей, если у мамы есть кроме этой кастрюли ещё 3-литровая банка, водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду?

Решение.

Нальём в 3-литровую банку воду и перельём её в кастрюлю. Затем еще раз наполним банку и выльём в кастрюлю, сколько поместится. Тогда в кастрюле будет 5 литров и 1 литр в 3-литровой банке. Теперь выльем всю воду из кастрюли в раковину. Затем перельем литр из банки в кастрюлю и добавим ещё три литра, наполнив банку ещё раз. Теперь в кастрюле 1 + 3 = 4 литра, что и требовалось. Задача решена.

Наше решение можно проиллюстрировать таблицей:

Итак, мы получили желанные 4 литра. Задача решена! Мы считаем, что такой способ решения с помощью таблицы является достаточно наглядным, и рекомендуем для вашего совместного с ребёнком решения.

Задача 2-го типа

У Марьи есть 2 кувшина объёмом 8 и 3 литра. В восьмилитровом кувшине налит весь имеющийся у Марьи кисель. Как отмерить 2 литра киселя? Все излишки киселя можно отдать Коту Баюну, который просто обожает это лакомство.

Решение.

Наполним трехлитровый кувшин доверху из восьмилитрового, после этого у нас будет 5 литров в 8-литровом и 3 литра в 3-литровом. Отдадим весь кисель из 3-литрового кувшина Коту Баюну. После этого у нас осталось 5 литров в 8-литровом и 3-литровый кувшин пуст. Снова наполним 3-литровый кувшин из 8-литрового. После этой операции в 8-литровом кувшине у нас останется ровно 2 литра (5 – 3 = 2). Мы отмерили 2 литра. Задача решена!

Решение также можно проиллюстрировать таблицей:

Ещё одна задача 2-го типа

Задача 3.

В кастрюле налито 8 литров супа. Есть также пустые 3-х и 5-тилитровая банки. Требуется отмерить 4 литра супа. Как это сделать, если суп нельзя проливать?

Решение.

1 способ. Нальём суп доверху в меньшую банку, затем перельём полученные три литра в 5-литровую банку, а 3-литровую наполним снова. Теперь будем лить суп из 3-литровой банки в 5-литровую, пока она не наполнится доверху. Тогда в меньшей банке останется 1 литр (5 – 3 = 2 и 3 – 2 = 1). Перельём 5 литров в кастрюлю, а 1 литр – в большую банку. Затем перельём 3 литра из кастрюли в меньшую банку. После этого в кастрюле останется ровно 4 литра. Задача решена.

2 способ. Нальём суп доверху в большую банку, тогда в кастрюле останется ровно 3 литр. Перельём из большой банки в меньшую 3 литра, после чего перельём их в кастрюлю. Перельём 2 литра из большой банки в меньшую, и наполним большую банку доверху супом из кастрюли. После чего дольём меньшую банку (там было 2 литра, а помещается 3) из большей банки. Получим 4 литра в большой банке. Задача решена.

Проиллюстрируем оба способа таблицам:

Советуем использовать таблицу при решении подобных задач.

Также ребёнку можно дать следующую подсказку. Речь пойдет о задачах, где разрешается выливать жидкости. Пусть в какой-то момент наполнены все сосуды, может быть, частично. Тогда перед ребенком стоит вопрос о том, откуда вылить жидкость. Выливать стоит из полного сосуда, а не из полупустого, так как количество литров в полном сосуде мы всегда с лёгкостью снова получим, тогда как получить полупустой сосуд − дело затруднительное. Надеемся, что в процессе работы вы сами сможете придумать множество оригинальных приемов и способов!

Обратите внимание, что приведённые решения могут не являться единственными. Ни в коем случае не говорите ребёнку, что он как-то не так стал решать задачу, если первым ходом он, допустим, налил воду из крана не в больший, а в меньший сосуд! Просто тщательно следите за его действиями. В большинстве задач есть как минимум 2 способа решения, и, скорее всего, при правильном выполнении переливаний ваш ребёнок в конечном итоге получит результат. Правда, возможно, за большее число ходов, зато – сколько удовольствия от самостоятельного решения без подсказок он получит!

Задачи на переливание — один из видов старинных задач. Они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях для 5–6-х классов. Однако данный вид логических задач целесообразно рассматривать и с учащимися среднего звена (7-8 классы).

Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний.

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

— все сосуды без делений,

— нельзя переливать жидкости «на глаз»

— невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:

знаем, что сосуд пуст,

знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.

Чаще всего используются словесный способ решения (т.е. описание последовательности действий) и способ решения с помощью таблиц, где в первом столбце (или строке) указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем — результат очередного переливания. Таким образом, количество столбцов (кроме первого) показывает количество необходимых переливаний.
Задача № 1. Отмерить 3 л, имея сосуд 5 л.

Какое наименьшее число переливаний потребуется для того, чтобы в четырехлитровую кастрюлю с помощью крана и пятилитровой банки налить 3 литра воды?

Решение:

Переливаем воду из кастрюли в банку.

Доливаем полную банку, и в кастрюле остается 3 литра.

Задача № 2. Винни-Пух и пчелы.

Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал?

Решение:

Как в результате можно получить 4 л? Нужно из 5-литрового сосуда отлить 1 л. А как это сделать? Нужно в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л.

Решение лучше и удобнее оформить в виде таблицы:

Задача № 3. Бэтмен и Человек-Паук.

Бэтмен и Человек-Паук никак не могли определить, кто из них самый главный супергерой. Что только они не делали: отжимались, бегали 100 метровку, подтягивались – то один победит, то другой. Так и не разрешив свой спор, отправились они к мудрецу. Мудрец подумал и сказал: «Самый главный супергерой – это не тот, кто сильнее, а тот, кто сообразительнее! Вот, кто решит первым задачу, тот и будет самым-самым! Слушайте: имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из источника 7 л живой воды?» Помогите вашему любимому герою решить эту задачу.

Решение:

Ход рассуждений таков:

Как в результате получить 7 литров? – Нужно к 5 литрам долить 2 л. А где их взять? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. А как их получить? В 8-литровый перелить из 5-литрового 5 литров, потом еще три.

Решение задачи показано в таблице:

Будем «шаги» переливаний записывать в виде строки из трех чисел.

При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:

В скобках – второй вариант решения.

Задача № 6. Молоко из Простоквашино.

Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?

Решение:

Переливаем из 8-литрового ведра 5 литров молока в 5-литровое. Переливаем из 5-литрового бидона 3 литра в 3-литровый бидон.

Переливаем их теперь в 8-литровое ведро. Итак, теперь 3-литровое ведро пусто, в 8-литровом 6 литров молока, а в 5-литровом — 2 литра молока.

Переливаем 2 литра молока из 5-литрового бидона в 3-литровый, а потом наливаем 5 литров из 8-литрового ведра в 5-литровый бидон. Теперь в 8-литровом 1 литр молока, в 5-литровом — 5, а в 3-литровом — 2 литра молока.

Доливаем дополна 3-литровый бидон из 5-литрового и переливаем эти 3 литра в 8-литровое ведро. В 8-литровом ведре стало 4 литра, так же, как и в 5-литровом бидоне. Задача решена.

Решение: Задача № 8. Том Сойер.

Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?

Решение:

Губке Бобу срочно нужно налить из водопроводного крана 6 л воды. Но он имеет лишь два сосуда 5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

Решение:

Существенным недостатком табличного способа решения является отсутствие четкого алгоритма действий, невозможность предвидеть ближайшие шаги. Составлять такие таблицы можно довольно долго, так и не придя к нужному результату.

Механизировать решение этих задач с помощью «умного» шарика предложил Я.И. Перельман в книге «Занимательная геометрия». Для каждого случая предлагалось строить биль­ярдный стол особой конструкции, длины двух сторон которого численно равны объему двух меньших сосудов. Далее, из острого угла этого стола вдоль одной из сторон нужно «запустить» шарик, который по закону «угол падения равен углу отражения» будет сталкиваться с бортами стола, показывая тем самым последовательность переливаний. На бортах стола нанесена шкала, цена деления которой соответствует выбранной единице объема. В результате движения шарик либо ударяется о бортик в нужной точке (тогда задача имеет решение), либо не ударяется (тогда считается, что задача решения не имеет).

Предложим еще один способ решения задач на переливание — с помощью векторов. Построим прямоугольную систему координат хОу (для решения потребуется только первая четверть). На оси Ох отметим точки, координаты которых кратны объему а одного из двух меньших сосудов. Через отмеченные точки проведем пунктиром прямые х = а , х = 2 а , . х = k а .

Эти прямые покажут нам, что сосуд объемом а полон и его нужно опорожнить. На оси Оу отметим точку, координата которой численно равна объему второй из меньших емкостей, то есть b. Проведем через нее пунктирную прямую у = b, которая поможет нам определить точки очередного наполнения второго сосуда. Наполнение емкости, объем которой отметили на оси Оу, будем показывать векторами, направленными вертикально вниз. Переливание из этого сосуда в тот, объем которого указан на оси Ох, изобразим векторами, направленными по диагонали вниз. И, наконец, опорожнение последней емкости будет выглядеть в виде вектора, направленного вертикально вверх. Для контроля рядом с концами векторов будем записывать остаток или то, что перелили. Если искомое число получим на оси Ох, то это количество жидкости, накопленной в сосуде объема а , если оно окажется на одной из вертикальных линий, то необходимая величина находится в сосуде объема b. Начерченные векторы являются последовательными шагами решения задачи.

Для примера решим задачу:

Разделить содержимое наполненной бочки в 12 ведер пополам при помощи бочек в 9 и 7 ведер.

Построим прямоугольную систему координат так, как описано выше. Вертикальный вектор, направленный вниз к метке 9 — это первый шаг: наполнение 9-ведерной бочки. Вектор 9–2 по диагонали вниз — переливание воды из 9-ведерной в 7-ведерную бочку. Метка 2 означает, что в средней (9-ведерной) бочке осталось 2 ведра воды. Так как меньшая емкость полна (мы дошли до пунктирной линии), то ее следует опорожнить, то есть вылить содержимое в 12-ведерную бочку — вектор направлен вертикально вверх. Следующий ход — вылить оставшиеся в средней бочке 2 ведра воды в меньшую (вектор 2–2). Поскольку вектор показывает на ось Ох, то это означает, что 9-ведерная бочка пуста, ее нужно вновь наполнить (вектор направлен вертикально вниз до метки 9). Продолжаем при помощи средней бочки наполнять меньшую (вектор по диагонали), оценивая каждый раз при наполнении одной из них содержимое другой и указывая оставшееся число ведер рядом с концом вектора. Продолжая действовать таким образом, скоро обнаруживаем в средней бочке необходимые 6 ведер воды. Эту задачу можно решить иначе, поменяв местами обозначения для 7- и 9-ведерной бочек на координатных осях. Тогда решение достигается с помощью большего количества шагов.

Проанализировав решение задачи, приходим к выводу, что задачу можно решить, если выполняется равенство: с =│n а – m b │, где с — искомое количество жидкости, а и b — данные объемы двух меньших сосудов, n и m — количество наполнений сосудов с объемом соответственно а и b .

Источник