Цилиндрический сосуд с водой вращаются

Тогда $\vec = — \vec < \nabla >( \rho gz)$, где $z$ — высота по вертикали вверх от некоторого фиксированного начала. Перейдем к вращающейся системе отсчета, уравнение

дополнительные слагаемые справа являются хорошо известные силы кориолиса и центробежные. В системе отсчета, вращающейся с жидкостью $\vec^ < \prime>= 0$, так что

$\vec < \nabla >\left ( p + \rho gz — \frac<1> <2>\rho \omega^ <2>r^ <2>\right ) = 0$

или $p + \rho gz — \frac<1> <2>\rho \omega^ <2>r^ <2>= const$

На свободной поверхности $p = const$, таким образом

Если выберем начало в точке $r = 0$ то $const = 0$ и

$z = \frac < \omega^<2>> <2g >r^<2>$ (Параболоид вращения)

Итак $p = \frac<1> <2>\rho \omega^ <2>r^ <2>+ const$

Источник

Равновесие жидкости в движущихся сосудах (вращение)

Задача 4.12.

Цилиндрический сосуд с закраиной, имеющий диаметр D = 400 мм и высоту H₀ = 300 мм, предварительно целиком заполненный жидкостью, равномерно вращается относительно вертикальной оси с частотой n = 200 об/мин.

1. Какой объем жидкости может удержаться в сосуде при данной частоте вращения, если диаметр закраины d = 200 мм?
2. Какой наибольший объем жидкости удержится в сосуде при сколь угодно большой частоте вращения?

Задача 4.13.

Найти частоту вращения n₁ цилиндрического сосуда высотой H₀ = 1.2 м и диаметром D = 0.8 м, наполненного жидкостью до высоты H₀/2, при которой жидкость поднимается до краев сосуда.

Определить частоту вращения n₂ сосуда, при которой в нем останется лишь половина первоначального объема жидкости.

Задача 4.14.

Тормозной шкив диаметром D₁ = 800 мм и высотой H₀ = 200 мм, вращающийся относительно вертикальной оси с частотой n = 120 об/мин, наполнен охлаждающей водой до предела, соответствующего данной частоте вращения.

1. Определить радиус r_x сухой части дна, если D₂ = 500 мм.
2. Найти силы, приложенные к верхнему и нижнему днищам.
3. На какой высоте x установится вода после остановки шкива?

Задача 4.16.

Цилиндрический сосуд диаметром D = 600 мм и высотой H₀ = 500 мм заполнен водой до высоты h = 400 мм.

Остальная часть сосуда заполнена маслом (относительная плотность δ = 0.8). Сосуд закрыт крышкой с малым отверстием в центре и приведен во вращение относительно центральной вертикальной оси.

Определить, с какой угловой скоростью ω нужно вращать сосуд для того, чтобы поверхность раздела жидкостей коснулась дна сосуда. Найти усилия, действующие при этом на дно (P_Д) и крышку (Р_К) сосуда.

Задача 4.17.

Цилиндрический сосуд диаметром D = 1.2 м, наполненный водой до высоты а = 0.6 м в пьезометрах одинакового диаметра, установленных на крышке сосуда на расстояниях r₁ = 0.2 и r₂ = 0.4 м от оси, вращается с частотой n = 60 об/мин.

Определить силу давления на крышку сосуда и указать, как она будет изменяться, если поочередно отключать пьезометры.

Источник

Цилиндрический сосуд с водой вращаются

Неподвижный сосуд, составленный из двух цилиндров, заполнен жидкостью, удерживаемой поршнями, на которые действуют силы Р1 и Р2.

Определить положения x и y поршней относительно торцовой стенки сосуда, при которых система находится в равновесии.

Площади поршней равны F1 и F2, объем жидкости между ними равен W. При решении задачи трением поршней о стенки сосуда пренебречь.

В состоянии равновесия сила, действующая на нижний поршень P2 уравновешивается силой, действующей на верхний поршень P1 и силой давления жидкости объемом W на нижний поршень площадью F2. Исходя из этого, можем записать

Откуда находим высоту узкой части сосуда x для заданных условий

После определения x можем найти и высоту широкой части сосуда, записав объем жидкости как

В сосуд, заполненный водой и маслом (плотность масла 900 кг/м^3), погружен кусок воска (плотность воска 960 кг/м^3).

Определить, какая часть объема воска погрузится в воду и какая останется в масле?

На тело, погруженное в жидкость, действует сила массы объема вытесненной жидкости, тогда можно записать

где Gк – сила тяжести куска воска, Vм,Vв – объемы куска в масле и воде соответственно. Силу тяжести куска запишем в виде

Подставляя второе уравнения в первое и решая его относительно отношения объемов Vв/ Vм, получаем

Объем куска воска

Подставляя отношение объемов

Однородный брус постоянного сечения F, длиной L и плотностью р1 нижним концом шарнирно закреплен на глубине H р1.

Определить, какой угол наклона а отвечает устойчивому равновесию бруса в жидкости и при каких значениях L/H брус будет покоится в вертикальном положении.

Брус будет покоиться при равенстве нулю моменту сил от его веса и подъемной силы

Поставляя вторые уравнения в первое, имеем

При вертикальном положении бруса а=0, из последнего уравнения

Сосуд, вращающийся относительно вертикальной оси, состоит из двух цилиндров одинаковой высотой a = 200 мм и диаметрами d = 150 мм и D = 300 мм. Нижний цилиндр целиком заполнен жидкостью.

При какой частоте вращения жидкость начнет выливаться из сосуда?

Объем параболоида вращения в узкой части сосуда

Исходя из сохранения объема системы объем жидкости в широкой части сосуда равен объему параболоида в нижней и определяется как

Приравнивая объемы, получаем угловую скорость, при которой жидкость начнет выливаться из сосуда

Определить расход Q1, который подается в верхний бак, если система (L1=150 м, d1=100 мм, все остальные трубы Li = 50 м, di = 60 мм) работает при постоянных напорах H= 6 м и h = 2 м.

Коэффициент сопротивления трения первой трубы принять равным м = 0,03, местными потерями напора пренебречь.

Определить расходы, которые установятся при этом во всех трубах системы.

Потери в трубопроводе 3-6 больше потерь в трубопроводе 5 на величину h

Отсюда расход в трубе 6

Потери в 4-м трубопроводе меньше чем во 2-5-м на величину h

Потери напора в трубе 1-4

Исходя из балансов расходов в трубах

После подстановки численных значений получаем

Определить время затопления баржи, заполненной нефтью (относительной плотностью g = 0,85) на высоту H0 = 2 м, после получения ею донной пробоины (диаметр отверстия В0 = 50 мм, коэффициент расхода м = 0,61). Размеры баржи: высота h = 3 м, площадь F = 120 м^2, ее начальное погружение а = 2 м.

Расход воды в баржу будет определятся глубиной погружения баржи и высотой столба нефти в барже H0

Время затопления баржи

t = 41317 с = 11,5 ч.

Два одинаковых цилиндрических резервуара заполнены жидкостью до уровня h каждый и имеют донные отверстия площадью f1 и f2, коэффициенты расхода которых равны м1 и м2 соответственно. Отверстия открываются одновременно.

Определить уровень у в нижнем резервуаре в тот момент, когда верхний резервуар будет полностью опорожнен.

Найти у в частном случае, когда м1 = м2 и f1 = f2.

Расход жидкости из нижнего резервуара

Т. к. сосуды имеют призматическую форму то средние расходы можно определять как среднеарифметические. Расход из верхнего резервуара

Расход из нижнего без учета верхнего

Время опорожнения верхнего резервуара

За это же время будет происходить изменение уровня в нижнем резервуаре

Приравнивая последние два уравнения, выразим уровень жидкости в нижнем резервуаре у после опорожнения верхнего

При k = 1 y = 0,38h.

Условия задач взяты из Сборника задач по машиностроительной гидравлике. Под ред. И. И. Куколевского и Л.Г. Подвидза. — М.: Машиностроение, 1981 — 464с.

Источник

Равновесие жидкости в движущихся сосудах

В зависимости от характера действующих массовых сил поверхность равного давления в жидкости, как и свободная поверхность, может принимать различную форму. Ниже рассматриваются некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах.

1. Жидкость находится в сосуде, который движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением ±а (знак плюс соответствует ускорению сосуда, знак минус — замедлению ) (см. рисунок).

В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерции. Поверхность равного давления является наклонной плоскостью. Давление в любой точке жидкости определяется по формуле

Для свободной поверхности жидкости, когда р=p₀, уравнение принимает вид:

g·z = ± a·x
или
z/x = tg α = ± a/g,

где α — угол наклона свободной поверхности жидкости к горизонту.

Последнее приведенное выше выражение позволяет определять (при условии, чтобы жидкость не переливалась через задний борт сосуда длиной l) высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h.

Если сосуд движется равномерно (а = 0), уравнение приводим к виду:

В этом случае поверхность равного давления представляет горизонтальную плоскость.

2. Жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.

В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной.

Поверхность равного давления представляет параболоид вращения. Распределение давления в жидкости по глубине определяется выражением:

Для любой точки свободной поверхности жидкости, когда p = p₀, уравнение принимает вид:

z = (ω 2 ·r 2 )/(2·g) = u 2 /(2·g),

где окружная скорость u = ω·r (r — радиус вращения точки).

Высота параболоида вращения:

где r₀ — радиус цилиндрического сосуда.

Сила давления жидкости на дно сосуда:

где h₀ — начальная глубина жидкости в сосуде до момента его вращения.

Давление на боковую стенку сосуда изменяется по линейному закону. Эпюра давления представляет прямоугольный треугольник ACD с высотой h₁ + h и основанием γ·(h₁ + h).

3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.

В данном случае жидкость также подвержена воздействию массовых сил тяжести и центробежной.

Поверхности равного давления представляют концентрически расположенные боковые поверхности цилиндров, оси которых горизонтальны и смещены относительно оси оу на величину эксцентриситета e = g/ω 2 (см. рисунок а).

При большом числе оборотов сосуда влияние силы тяжести по сравнению с влиянием центробежной силы становится незначительным, и, следовательно, величиной эксцентриситета е можно пренебречь. Тогда поверхности равного давления становятся концентрическими цилиндрами, оси которых совпадают с осью сосуда (см. рисунок б).

Распределение давления по глубине жидкости определяется выражением:

где p и p₀ — соответственно давления в точках цилиндрических поверхностей с радиусами r и r₀.

Данное уравнение справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жидкостью. Свободная поверхность жидкости в этом случае также будет цилиндрической с радиусом r₀ и давлением во всех ее точках р₀.

Как видно из последнего уравнения, закон распределения давления по радиусу является параболическим. Эпюра давления представленная на рисунке в. Такие приближенные решения могут применяться при любом положении оси вращения сосуда, однако при условии большого числа его оборотов.

Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.

Источник