Ускорение точки
Скорость точки.
Перейдем к решению второй основной задачи кинематики точки — определению скорости и ускорения по уже заданному векторным, координатным или естественным способом движению.
1. Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление перемещения точки. В системе СИ скорость измеряется в м/с.
a) Определение скорости при векторном способе задания движения.
Пусть движение точки задано векторным способом, т.е. известно векторное уравнение (2.1):
Рис. 2.6. К определению скорости точки
Пусть за время Dt радиус-вектор
Мгновенной скоростью (или далее — просто скоростью) называется предел
Вспоминая определение производной, заключаем:
Здесь и в дальнейшем знаком
б) Скорость точки при координатном способе задания движения.
Выведем формулы для определения скорости при координатном способе задания движения. В соответствии с выражением (2.5), имеем:
Так как производные от постоянных по величине и направлению единичных векторов равны нулю, получаем
Вектор
Сравнивая выражения (2.6) и (2.7) видим, что производные координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл — они являются проекциями вектора скорости на координатные оси. Зная проекции, легко вычислить модуль и направление вектора скорости (рис. 2.7):
Рис. 2.7.К определению величины и направления скорости
в) Определение скорости при естественном способе задания движения.
Рис. 2.8. Cкорость точки при естественном способе задания движения
Согласно (2.4)
где
Величина V=dS/dt называется алгебраической скоростью. Если dS/dt>0, то функция S = S(t) возрастает и точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S, т.е. точка движется в положительном направлении Если же dS/dt 2 .
a) Определение ускорения при векторном способе задания движения.
Пусть точка М в момент времени t находится в положении М(t) и имеет скорость V(t), а в момент времени t + Dt находится в положении М(t + Dt) и имеет скорость V(t + Dt) (см. рис. 2.9).
Рис. 2.9. Ускорения точки при векторном способе задания движения
Средним ускорением
Предел
Согласно (2.11), ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени.
б). Ускорения при координатном способе задания движения.
Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:
Учитывая, что производные от единичных векторов
Вектор
Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что вторые производные от координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл: они равны проекциям полного ускорения на координатные оси, т.e.
Зная проекции, легко вычислить модуль полного ускорения и направляющие косинусы, определяющие его направление:
в). Ускорение точки при естественном способе задания движения
Приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для определения ускорения при естественном способе задания движения.
Пусть точка М движется по некоторой пространственной кривой. С каждой точкой этой кривой связаны три взаимно ортогональные направления (касательная, нормаль и бинормаль), однозначно характеризующие пространственную ориентацию бесконечно малого элемента кривой вблизи данной точки. Ниже приводится описание процесса определения указанных направлений.
Для того чтобы провести касательную к кривой в точке М , проведем через нее и близлежащую точку М1 секущую ММ1.
Рис. 2.10. Определение касательной к траектории движения точки
Касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей ММ1 при стремлении точки М1 к точке М (рис. 2.10). Единичный вектор касательной принято обозначать греческой буквой
Проведем единичные векторы касательных к траектории в точках М и М1. Перенесем вектор
Рис. 2.11. Определение соприкасающейся плоскости
Очевидно, что для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит сама эта кривая. Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормальной плоскостью. Пересечение соприкасающейся и нормальной плоскостей образует прямую, называемую главной нормалью(рис. 2.12).
Источник
Тема 1.7. Ускорение точки и его виды
§1. Вектор ускорения точки
Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.
В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате .
Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v, а в момент t 1 приходит в положение M 1 и имеет скорость v 1 (рис. 1).
Рис.1. Движение точки М с ускорением
Тогда за промежуток времени ∆t=t 1-t скорость точки получает приращение . Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный v 1, и построим параллелограмм, в котором диагональю будет
, a одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор . Заметим, что вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории.
Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени ∆t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:
Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор , т.е. направлен в сторону вогнутости траектории.
Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v постоянна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равномерному движению.
Найдем, как располагается вектор по отношению к траектории точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка.
При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 2, а) векторы и сонаправлены () и проекция ускорения на направление движения положительна.
При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 2, б) направления векторов и противоположны () и проекция ускорения на направление движения отрицательна.
Источник
