Решение задач на теплообмен с использованием уравнения теплового баланса (методические рекомендации)
Разделы: Физика
Пособие рекомендовано учащимся, желающим получить практические навыки в решении задач на теплообмен, и может быть полезным для учителей и абитуриентов.
При соприкосновении тел, имеющих разные температуры, между этими телами происходит теплообмен. С точки зрения молекулярно-кинетической теории, это объясняется так: молекулы более нагретого тела имеют большую кинетическую энергию, чем молекулы тела, менее нагретого. При “столкновениях” молекул соприкасающихся тел происходит процесс выравнивания их средних кинетических энергий. Молекулы более нагретого тела теряют часть своей кинетической энергии, при этом нагретое тело будет остывать. Кинетическая энергия молекул холодного тела возрастает, поэтому температура этого тела будет увеличиваться. В конечном итоге кинетические энергии молекул обоих тел сравняются, и температуры тел станут одинаковыми. На этом теплообмен прекращается.
Энергию, которую тело получает или отдаёт в процессе теплообмена, называют количеством теплоты (Q).
Количество теплоты, как и все другие виды энергии, измеряется в системе СИ в Джоулях: [Q] = Дж. (Здесь и в дальнейшем единицы измеряются в системе СИ.)
Нагревание или охлаждение
При нагревании или охлаждении тела количество теплоты, поглощаемое или выделяемое им, рассчитывается по формуле:
(t2 – t1) – разность температур тела,° С (или К);
с – удельная теплоёмкость вещества, из которого состоит тело,
Удельная теплоёмкость вещества – это количество теплоты, которое нужно сообщить одному килограмму данного вещества, чтобы увеличить его температуру на 1° С (или это количество теплоты, которое выделяет один килограмм данного вещества, остывая на 1° С).
Значения удельных теплоемкостей других веществ можно найти в справочниках, а также в школьном учебнике или задачнике.
При нагревании тела его внутренняя энергия увеличивается. Это требует притока энергии к телу от других тел. Значит, оно поглощает некоторое количество теплоты, принимая его от других тел, участвующих в теплообмене.
При охлаждении тела его внутренняя энергия уменьшается. Поэтому остывающее тело отдаёт кому-либо некоторое количество теплоты.
Обычно конечную температуру, установившуюся в результате теплообмена, обозначают греческой буквой
В формуле (1) произведение cm для каждого конкретного тела есть величина постоянная. Её называют теплоёмкостью тела и обозначают С:
Размерность теплоемкости:
Теплообмен между телами, имеющими одинаковые температуры, не происходит, даже если контактируют вещества, находящиеся в разных агрегатных состояниях. Например, при температуре плавления (0° С) лёд и вода могут находиться бесконечно долго, при этом количество льда и количество воды останутся неизменными. Аналогично ведут себя пар и жидкость, находящиеся при температуре кипения. Теплообмен между ними не происходит.
Плавление или кристаллизация
Если при нагревании тела его температура достигнет температуры плавления, то начинает происходить процесс перехода этого вещества из твердого состояния в жидкое. При этом идут изменения в расположении и характере взаимодействия молекул. Температура при плавлении не изменяется. Это означает, что средние кинетические энергии молекул жидкости и твердого тела при температуре плавления одинаковы. Однако внутренняя энергия тела при плавлении возрастает за счет увеличения энергии взаимодействия молекул. Количество теплоты, поглощаемое телом при плавлении, рассчитывается по формуле
где m – масса тела, кг;
При кристаллизации, наоборот, внутренняя энергия тела уменьшается на величину
Удельная теплота плавления показывает, сколько энергии нужно сообщить одному килограмму данного вещества, взятого при температуре плавления, чтобы полностью превратить его при этой температуре в жидкость (или сколько энергии выделяет 1 кг жидкости, взятой при температуре кристаллизации, если вся она при этой температуре полностью превратится в твёрдое тело).
Удельную теплоту плавления любого вещества можно найти в справочниках. Для льда же
Температура плавления у каждого вещества своя. Её также можно найти в справочниках. Важно подчеркнуть, что температура плавления вещества равна температуре кристаллизации этого же вещества. У льда tпл = 0° С.
Кипение или конденсация
При достижении жидкостью температуры кипения начинает происходить другой фазовый переход – кипение, при котором расстояния между молекулами значительно увеличиваются, а силы взаимодействия молекул уменьшаются. Вся подводимая к жидкости теплота идет на разрыв связей между молекулами. При конденсации пара в жидкость, наоборот, расстояния между молекулами значительно сокращаются, а силы взаимодействия молекул увеличиваются. Для кипения жидкости энергию к жидкости нужно подводить, при конденсации пара энергия выделяется. Количество теплоты, поглощаемое при кипении или выделяемое при конденсации, рассчитывается по формуле:
где m – масса тела, кг; L – удельная теплота парообразования,
Удельная теплота парообразования показывает, сколько энергии нужно сообщить одному килограмму жидкости, взятой при температуре кипения, чтобы при этой температуре полностью превратить её в пар (для конденсации: сколько энергии выделяет один килограмм пара, взятого при температуре конденсации, полностью превращаясь в жидкость).
При одинаковом давлении температура кипения и температура конденсации одного и того же вещества одинаковы.
Температуры кипения и удельные теплоты парообразования также можно найти в справочниках. Для воды же они соответственно равны: рис. 9 (при нормальном атмосферном давлении).
Уравнение теплового баланса
Тела, участвующие в теплообмене, представляют собой термодинамическую систему. Термодинамическая система называется теплоизолированной, если она не получает энергию извне и не отдаёт её; теплообмен происходит только между телами, входящими в эту систему. Для любой теплоизолированной системы тел справедливо следующее утверждение: количество теплоты, отданное одними телами, равно количеству теплоты, принимаемому другими телами.
Это утверждение описывает частный случай закона сохранения и превращения энергии в применении к процессу теплообмена. А формула (5) является одним из видов уравнения теплового баланса.
При решении задач с помощью данного вида уравнения теплового баланса в формуле (1) в качестве t2 следует брать большую температуру, а в качестве t1 – меньшую. Тогда разность (t2 – t1) будет положительна и всё произведение cm(t2–t1) также будет положительным. Все теплоты, отданные и полученные, будут положительными.
Уравнение теплового баланса можно записать и в таком виде:
где n – количество тел системы.
Алгебраическая сумма всех количеств теплоты (поглощенных и выделенных) в теплоизолированной системе равна нулю.
Q1, Q2, …, Qn – это теплоты, поглощаемые или выделяемые участниками теплообмена. Очевидно, что в этом случае какие-то теплоты должны быть положительны, а какие-то – отрицательны. При записи уравнения теплового баланса в виде (6) всегда t2 – конечная температура, а t1 – начальная.
Если тело нагревается, то разность (t2 – t1) положительна и все произведение cm(t2 – t1) положительно. То есть Q > 0 тогда, когда теплота к данному телу подводится.
А если t2 0; если тело выделяет энергию (кристаллизация, конденсация), то Q
| Проведём анализ: Вода и калориметр находились в тепловом равновесии, поэтому они имели одинаковую температуру: t1 = t2 = 20° С. При опускании в воду с температурой 20° С свинцового тела с температурой 90° С между водой и свинцом будет происходить теплообмен. Свинец будет остывать, а вода — нагреваться. В этом же процессе участвует и калориметр, который, как и вода, будет тоже нагреваться. | |
| Изменение температур тел с течением времени удобно изображать на графике зависимости t(t ). Отрезок АВ соответствует графику изменения температуры свинцового тела. Стрелка, идущая от него, показывает, что, остывая, свинец выделяет энергию Q3. | |
| Два параллельных отрезка СВ соответствуют графикам изменения температур калориметра и воды. Стрелки, идущие к ним, показывают, что для нагревания калориметра и воды требуется энергия Q1 и Q2, которую они поглощают. | |
| Решим задачу с использованием уравнения теплового баланса в виде (5): |
Решим задачу с использованием уравнения теплового баланса в виде (6):
Ответ: Вода нагреется до 24° С.
Предлагаю читателю самостоятельно сделать проверку размерности.
Источник
Задача тепловой баланс вода
Содержание этапа решения
Оценка этапа в баллах
Водяной пар в воздухе становится насыщенным при температуре 27 °C. Следовательно, давление р водяного пара в воздухе равно давлению насыщенного пара при температуре 27 °C, из таблицы 36 гПа.
Абсолютная влажность равна плотности водяных паров. Первое состояние: насыщенный пар при 27 °C. Второе: пар при 29 °C. Пар охлаждается от 29 до 27 °C изобарически, поэтому
Пусть
Ответ: 25,6 г/м 3 .
Давление
Конденсация паров воды происходит при условии равенства давления водяного пара, имеющегося в воздухе, давлению насыщенного водяного пара при данной температуре воздуха. Давление насыщенного водяного пара зависит от температуры. Поэтому при разной плотности водяного пара в воздухе температура начала конденсации пара (точка росы) оказывается различной.
Приведённое решение неверно. В условии нигде не сказано, что можно считать водяной пар идеальным газом, а стало быть уравнение Менделеева-Клайперона даёт неточный результат. Относительная влажность по другому определяется через отношение абсолютной влажности к плотности водяных паров при данной температуре, следовательно мы можем взять значение для абсолютной влажности при 29 градусах непосредственно из таблицы — она равна плотности насыщенных паров при 27 градусах, т.е. 25,8 г/куб. м.
Немного изменили решение. Но при изменении температуры при постоянном давлении меняется (хоть и незначительно) относительная влажность. Поэтому нельзя сказать, что искомая относительная влажность равна плотности насыщенного парам при 27 °С. Составителям следовало бы взять разницу температур побольше.
В калориметре находился 1 кг льда. Чему равна первоначальная температура льда, если после добавления в калориметр 20 г воды, имеющей температуру 20 °C, в калориметре установилось тепловое равновесие при
Количество теплоты, необходимое для нагрева льда, находящегося в калориметре, до температуры t:
Количество теплоты, отдаваемое водой при охлаждении ее до
Количество теплоты, выделяющееся при отвердевании воды при
Количество теплоты, вьделяющееся при охлаждении льда, полученного из воды, до температуры t:
Уравнение теплового баланса:
Объединяя (1)—(5), получаем:
Ответ:
Почему количество теплоты, выделяющееся при отвердевании воды равно Q=Lm (L- лямбда)? Если я не ошибаюсь, то отвердевание это кристаллизация и формула будет Q=-Lm.
Знак не имеет особого значения. Просто нужно писать данное слагаемое в «правильную часть» теплового баланса, то есть правильно указывать, куда переходит данная энергия.
В калориметре находился лед при температуре
Количество теплоты, полученное при нагреве льда, находящегося в калориметре, до температуры
Количество теплоты, полученное льдом при его таянии при
Количество теплоты, отданное водой при охлаждении её до
Уравнение теплового баланса:
Объединяя (1)—(4), получаем:
Ответ:
В калориметре находился 1 кг льда. Какой была температура льда, если после добавления в калориметр 15 г воды, имеющей температуру 20 °С, в калориметре установилось тепловое равновесие при –2 °С? Теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью калориметра пренебречь.
Количество теплоты, необходимое для нагревания льда, находящегося в калориметре, до температуры t:
Количество теплоты, отдаваемое водой при охлаждении её до 0 °С:
Количество теплоты, выделяющейся при отвердевании воды при 0 °С:
Количество теплоты, выделяющейся при охлаждении льда, полученного из воды, до температуры t:
Уравнение теплового баланса:
Объединяя формулы (1)—(5), получаем
Ответ:
Почему в уравнении (3) удельная теплота плавления взята с плюсом? Т.к. идёт процесс, обратный плавлению, она должна быть с минусом.
Я бы Вам посоветовал забыть про этот знак минус в формуле, лучше все считать положительным, просто понимать, куда перетекает тепло. Писать тепловой баланс в виде:
Это полностью эквивалентно балансу в виде
А почему в уравнении (2) , при расчете температуры мы вычитаем 0 , не -2 ?
То что происходит с 15 г воды можно представить в виде трёх процессов: а) вода охлаждается до 0 °С, б) замерзает (превращается в лёд) и в) лёд охлаждается до –2 °С.
Уравнение (2) описывает процесс (а).
В 2012 году зима в Подмосковье была очень холодной, и приходилось использовать системы отопления дачных домов на полную мощность. В одном из них установлено газовое отопительное оборудование с тепловой мощностью 17,5 кВт и КПД 85%, работающее на природном газе — метане
Метан имеет молярную массу
Удельная теплота сгорания метана в пересчёте на кубометр газа равна
Таким образом, за месяц (30 суток по 86400 секунд) потребление энергии составит
Объём потребленного за месяц газа будет равен
Ответ: хозяевам пришлось заплатить за месяц отопления дома газом 4960 рублей.
Источник
