Задача пуассона про бочки с водой

Подумаем над обобщением задачи: Пусть имеются два пустых сосуда а литров и b литров, объем третьего наполненного жидкостью сосуда с литров и a

2. Задача имеет решение, т.к. a и b взаимно простые числа.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Метод трилинейной системы координат

Очень интересный способ решения задач на переливания описан в журнале «Квант» № 7 за 1978 год в статье Г.С.М. Коксетер, С.Л.Грейтцер «Задача о трех кувшинах».

Д ля применения этого метода используют триангулированную бумагу, т.е. бумагу, на которой проведены три системы параллельных линий, разбивающих ее на маленькие равносторонние треугольники. Построим в ИГС GeoGebra большой равносторонний треугольник АВС со сторонами, проходящими по линиям сетки.

Для произвольной точки М в этой плоскости определим числа x, y, z как расстояния от этой точки до прямых ВС, СА и АВ соответственно, причем для каждой из этих прямых расстояние будем считать положительным, если точка лежит по ту же сторону от этой прямой, что и треугольник АВС, и отрицательным в противном случае. Полученную тройку чисел (x, y, z) будем называть трилинейными координатами точки М относительно треугольника АВС.

П РИЛОЖЕНИЕ 4. Решение задачи в среде Кумир (Исполнитель «Водолей»)

Решить задачу на переливания можно с помощью программирования в среде Кумир с применением исполнителя «Водолей». Среда исполнителя содержит три сосуда, обозначенные латинскими буквами «A», «B», «C», а также верхнюю панель, на котором находится меню «Задание». При запуске исполнителя создаются два окна: окно водолея и окно пульта. В этой среде была решена и задача Пуассона.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Из истории теорий по решению задач на переливания.

В одном средневековом сочинении, восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача: Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)». Нам не известно, как была решена эта задача.

В конце XVIII века задачей на переливание заинтересовался Пуассон, который будучи ученым — математиком говорил: «Эта задача определила мою судьбу. Я решил, что непременно буду математиком». Методрешения задачи Пуассоном также не известен.

В 1835 году французский физик Гаспар Густав Кориолис за год до избрания его академиком Парижской академии наук написал книгу «Theorie mathematique du jeu de billard» («Математическая теория явлений бильярдной игры»). Однако работа Кориолиса, в которой автор использовал элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа, не заинтересовала ни игроков, ни математиков. Лишь через 150 лет теория биллиардов стала неотъемлемой частью теории динамических систем, соединяя разные разделы математики.

С 70-х годов XX столетия современная теория бильярдов в России послужила предметом серьезных научных исследований в области математики и механики, стала одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Яковом Григорьевичем Синаем и его школой. Синай Я.Г. (д.р.1935 г.) — доктор физико-математических наук, академик РАН, действительный член Американского математического общества, работает в России и Америке, в 2014 году получил премию Абеля за фундаментальный вклад в изучение динамических систем. Синай Я.Г., ученик Колмогорова А.Н., родился в 1935 году в Москве, закончил физмат МГУ, по настоящее время ведет плодотворную творческую работу и в России, и в Америке. В 2014 году Яков Григорьевич получил премию Абеля за фундаментальный вклад в изучении динамических систем. Его ученик Земляков А.Н. вместе с Гальпериным Г.А., учеником Колмогорова А.Н., в 1990 году написали книгу «Математические бильярды», которая лежит в основе каждой работы по исследованию математической теории бильярдов.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Критерии оценки методов решения задач на переливания

Уровень сложности рассуждений.

Необходимость знаний законов алгебры и формул.

Возможность контролировать ход действий.

Наличие алгоритма решения.

Возможность быстро оценить результаты решения.

Затрата времени на подготовительные работы (выполнить рисунки, построить диаграммы, начертить таблицу, построить математический бильярдный стол, начертить трилинейную систему координат).

Возможность компьютерной реализации.

Роль метода в оценке разрешимости.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7 Сравнение методов решения задач на переливания

Метод рассуждений (метод проб и ошибок)

Не требует дополнительных средств.

Занимает много времени; высокая вероятность ошибки в расчетах.

Наглядность; таблица помогает систематизировать всю информацию и приводить ее в некий порядок.

Возможность компьютерной реализации.

Занимает много времени; возможны частые повторения.

Наглядность; легко нарисовать и представить данные.

Возможность компьютерной реализации.

Диаграммы строятся на основании числовых данных, представленных в таблицах.

Метод математического бильярда

Наглядность; имеет алгоритм решения; систематичность; возможность быстро решить задачу.

Возможность компьютерной реализации.

Возможность установить разрешимость задачи без затраты усилий и времени

Для решения задачи требуется рисунок стола математического бильярда, но построив такой рисунок один раз c помощью инструментов ИГС GeoGebra , можно его многократно копировать.

Альтернативный метод решения в прямоугольной системе координат

Наглядность; имеет алгоритм решения; систематичность. Возможность быстро решить задачу. Возможность компьютерной реализации. Возможность установить разрешимость задачи без затраты усилий и времени

Для решения задачи требуется представление о методе математического бильярда.

Метод трилинейной системы координат

Возможность компьютерной реализации.

Для решения задачи требуется рисунок; сложен для понимания.

Метод координатной плоскости

Наглядность; возможность быстро решить задачу; определенные границы и точки; возможность решить задачу в ИГС GeoGebra на компьютере.

Сложен для понимания.

Наглядность; легко нарисовать или воспользоваться функцией «Построить вектор» в ИГС GeoGebra . Возможность компьютерной реализации.

Требует знания геометрии по теме «Векторы» и «Координаты векторов»

Наглядность; систематизирование информации; возможность рассмотреть все варианты решения.

При рассмотрении всевозможных вариантов возможны повторения; необходимы знания о графах из курса информатики.

Наглядность; развивает умение составлять алгоритмы; понятен для воспринимания. Возможность компьютерной реализации.

При решении задач требуются знания из курса информатики о том, как составлять блок-схемы.

С помощью компьютерных программ(«Кумир»)

Быстрое решение задачи; наглядность; развивает умение составлять алгоритмы.

Требуются навыки и умения работать в среде «Кумир»

Вывод. Сравнив рассмотренные способы решения задач на переливания, можно сделать вывод, что самый надежный, оптимальный способ – метод бильярда (или Альтернативный метод решения в прямоугольной системе координат) .

Старт в науке

Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».

Источник

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте

Задача, известная как «задача Пуассона»

Некто имеет $ 12_<> $ пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в $ 6_<> $ пинт. У него два сосуда, один в $ 8_<> $, другой в $ 5_<> $ пинт; спрашивается: каким образом налить $ 6_<> $ пинт в сосуд в $ 8_<> $ пинт?

Решение. Имеются два решения

12	8	5	$ <>_<> \qquad <>_<> \qquad <>_<> $	12	8	5
12	0	0	12	0	0
4	8	0	7	0	5
4	3	5	0	7	5
9	3	0	0	8	4
1	8	3	8	0	4
1	6	5	8	4	0
6	6	0	3	4	5
3	8	1
11	0	1
11	1	0
6	1	5
6	6	0

Источник.

Попов Г.Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. М.-Л.ГТТИ.1932

Источник

Задача Пуассона и математический бильярд

Одной из самых известных задач на переливание является задача Симеона Дени Пуассона (1981 – 1840), знаменитого французского математика и физика.В данной работе рассмотрено решение задач на переливание различными методами. Рассматриваемые задачи традиционно встречаются на олимпиадах по математике различного уровня, и будут отличным подспорьем, для желающих научится решать задачи такого типа. Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний. В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи.В работе рассмотрена математическая модель бильярда. Данная модель неожиданно много имеет применений в теории чисел, механике, физике и арифметике. Идея метода: нарисовать бильярдный стол и интерпретировать действия движениями бильярдного шара, фиксировать состояния в отдельной таблице. Существенным недостатком табличного способа решения является отсутствие четкого алгоритма действий, невозможность предвидеть ближайшие шаги. Составлять таблицы можно долго, так и не придя к нужному результату. Метод математического бильярда наиболее точно и быстро дает схему решения задач на переливания.

Скачать:

Вложение	Размер
Задачи на переливание	277.56 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
« Средняя общеобразовательная школа №13 с углубленным изучением отдельных предметов» города Губкина Белгородской области

Задача Пуассона и математический бильярд

МБОУ «СОШ №13 с УИОП»,

Белгородская область, г. Губкин

Айзикович А. Г., учитель математики

«В одном средневековом сочинении, восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача:

Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» — спрашивает второй слуга. «8 мер», — отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)».

Одной из самых известных задач подобного рода является задача Симеона Дени Пуассона (1981 – 1840), знаменитого французского математика и физика. Именно с решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, и определил выбор своей будущей профессии – математик.

Выдвинем гипотезу — существуют ли специальные формулы, общие методы для решения задачи Пуассона.

Цель работы – рассмотреть формулы и методы для решения задачи Пуассона, научиться решать задачи на переливание, рассмотреть возможность применения геометрии.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи : изучить соответствующую методическую литературу, найти различные способы решения задач.

Актуальность темы состоит в том, что решение задач на переливание способствует культурному и интеллектуальному развитию, помогает развитию памяти, внимания, логического мышления, любознательности и творческих способностей.

1.Способы решения задач на переливание

1.1 Метод рассуждений и общий алгоритм решения

Рассмотрим задачу Пуассона: Один человек имеет в бочонке 12 пинт вина (пинта – старинная французская мера объема, 1 пинта ≈ 0,568 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

Перейдем на литры . Сначала наливаете 8 литров в 8-литровый, потом из 8- литрового наливаете полный 5-литровый, в результате получается, что в 12-литровом — 4 литра, в 8-литровом – 3 литра, а в 5-литровом – 5 литров.
Переливаете из 5-литрового в 12-литровый все вино, а из 8-литрового переливаете все 3 литра в 5-литровый. В результате 9 литров в 12-литровом, 0 литров в 8-литровом, и 3 литра в 5-литровом. Переливаете из 12-литрового 8 литров в пустой 8-литровый, и в 12-литровом остается 1 литр. Из 8-литрового доливаете в 5-литровый, пока 5-литровый не станет полным, (в 5-литровом было 3 литра, следовательно долили мы еще 2 литра из 8-литрового) Тогда в 8-литровом как раз остается 6 литров.

Простейший способ решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такое решение не совсем удачно, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании определённой последовательности действий.

В задачах на переливание разрешены следующие операции:

заполнение жидкостью одного сосуда до краев;
переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;

При решении таких задач необходимо учитывать следующие замечания:

разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;
разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;
разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.

Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя способами:

I. начать переливания с большего сосуда;

II. начать переливания с меньшего сосуда.

Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя.

При решении задач можно использовать следующий алгоритм.

Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.
Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.
Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.
Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой.
Если емкость промежуточного объема опустела, то повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

1.2 Метод табличный

Простейший прием решения задач на переливание состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач. Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании отдельных таблиц, в которые заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Задача 1. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды? Решение. В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания.

После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача 2 . В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.

Бочка на 10 литров бензина

Ведро на 9 литров

Бидон на 5 литров

Задача 3. Имеется три сосуда без делений объемами 4 л, 5 л, 6 л, кран с водой, раковина и 4 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

2 л воды, 2 л сиропа

Задача 4. Летом Винни — Пух сделал запас мёда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину — после Нового Года. Весь мёд находится в ведре, которое вмещает 6 литров. У него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мёд так, как задумал ? Решение.

Ведро на 6 литров

Банка на 5литров

1.3 Метод математического бильярда

Бильярд в науке

Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий.

Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил Гаспар Густав Кориолис в своей книге «Thйorie mathйmatique du jeu de billard» (Русск. перевод: «Математическая теория явлений бильярдной игры») в 1835 году. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Однако особого интереса у современников (по мнению Лемана) книга не вызвала: ни у математиков, ни у бильярдистов.

Прошло более полутораста лет, и математический бильярд развился в свою теорию, породив несколько побочных. «Теория бильярдов» сегодня неотъемлемая часть эргодической теории и теории динамических систем, имеет важнейшее применение в физике. Математиком Гальпериным создан способ определения числа пи с помощью бильярда. Намного ближе общеобразованному читателю результаты исследований математиков Штейнгауза, Альхазена и Гарднера.

Головоломки на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола. Идея метода: Нарисовать бильярдный стол и интерпретировать действия движениями бильярдного шара, фиксировать состояния в отдельной таблице. Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Задача. Винни-Пух и пчелы. Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал?

Как в результате можно получить 4 л? Нужно из 5-литрового сосуда отлить 1 л. А как это сделать? Нужно в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л.
Решение лучше и удобнее оформить в виде таблицы.

Источник

Читайте также: Ходящий по воде перевод

Задача пуассона про бочки с водой

Задача Пуассона в «Крепком орешке»: действительно ли ее так сложно решить

Задача Пуассона: классический пример

Условия задачи

Что надо сделать

Как решить задачу Пуассона